日前，北京大学汇丰商学院助教授Jaehyuk Choi和香港科技大学教授吴立昕在合作发表的两篇论文中介绍了改进期权定价SABR模型研究的最新进展。其中一篇题为The equivalent constant-elasticity-of-variance (CEV) volatility of the stochastic-alpha-beta-rho (SABR) model，发表在Journal of Economic Dynamics and Control(JEDC)上;另一篇题为A note on the option price and “Mass at zero in the uncorrelated SABR model and implied volatility asymptotics”，发表在Quantitative Finance上。
过去几十年来，Black-Scholes(BS)模型一直是标准的期权定价模型。但是该模型无法解释跨行权价的非恒定隐含波动率，这种现象被称为波动率微笑(Volatility Smiles)。自1987年黑色星期一股市崩盘以来，在期权市场上已经明显观察到这种现象。此后，虽然BS框架一直作为数理金融学研究的重要组成部分，但仍有许多研究试图改进或取代BS框架。
准确拟合波动率微笑的方法之一是使波动率随机化而不是恒定化。在几个随机波动率(Stochastic Volatility)模型中，由著名量化分析师Patrick Hagan提出的SABR(Stochastic-Alpha-Beta-Rho)模型在金融界广泛使用。SABR模型直观明了，而且提供了一个灵活选择的杠杆效应，即波动率和现货价格之间的相关性。但与BS模型类似，由于计算的复杂性，SABR模型也无法得出确切的期权价格解析解。于是Hagan提出了一个等价于 BS 波动率的近似解，以便交易员可以快速计算出期权价格。然而，使用这个近似解时需要格外谨慎，因为误差常常增长到不可忽略的大小，并且打破无套利假设。于是，许多研究者试图找到一种更准确、有效的方法来改进Hagan的近似公式。
JEDC 封面(资料图片)
Jaehyuk Choi教授和吴立昕教授合作的两篇论文就是改进Hagan的近似公式的相关研究。两篇论文都侧重于使用方差常弹性(CEV)模型，这是 SABR 模型的固定波动率极限。在第一篇论文中，作者得出了SABR模型的等价CEV波动率，而非等价的BS波动率。由于CEV模型和SABR模型之间的密切联系，新方法作为一种控制变量方法有效地减少了误差。此外，映射到 CEV 波动率上，约定于在零行权价处间接地设置软性边界条件，因此在行权价为零时提供短时渐近关系，与文献一致。
Quantitative Finance 封面
在第二篇论文中，作者利用从Gulisashvili、Horvath和Jacquier(2018)的方法中引发的思路，将SABR模型近似为具有不同现货价格和波动率的CEV模型的有限组合。因此，可以通过计算一组CEV期权价格的加权和来快速得到SABR的解。虽然该方法仅限于没有相关性的情况，但新的有限组合期权定价方法在整个行权价区间上都是准确、无套利的。
数值结果表明，上述两种新方法在较少或没有套利的情况下更加准确，因此可以肯定地说在金融业实际运用中足以取代Hagan公式。
Jaehyuk Choi，北京大学汇丰商学院助理教授，美国麻省理工学院应用数学博士，主要研究领域为定量金融、数学模型、数值方法、数据科学。他曾在巴黎银行和高盛总部工作。
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